Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是直角梯形，,，,侧面底面,且是以为底的等腰三角形.

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若四棱锥的体积等于.问：是否存在过点的平面分别交，于点，使得平面平面？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析: （Ⅰ）取的中,连接 ,由三角形是等腰三角形,则 ,又 ,可得 ,从而证出 ,可得 ; （Ⅱ）取 中点 ,连接 ,可证明四边形为平行四边形,进一步证明 ,可得三角形是直角三角形,由三角形面积公式可得面积.

试题解析:（Ⅰ）证明：取的中点，连接，

∵，

∴.

∵且，

∴是正三角形，且，

又∵，平面

∴平面，且平面

∴

（Ⅱ）解：存在，理由如下：

分别取的中点，连接，则；

∵是梯形，且，

∴且，则四边形为平行四边形，

∴

又∵平面，平面

∴平面，平面且平面，

∴平面平面

∵侧面，且平面平面

由（Ⅰ）知，平面，若四棱锥的体积等于，

则，所以

在和中，

∴，则

∴是直角三角形，则.