Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（I）求证：数列{a_n}是等差数列；
（II）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得S_n=na_n-2n（n-1）与则S_n+1=na_n+1-2（n+1）n，结合a_n+1=S_n+1-S_n可得a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-4n，化简可得a_n+1-a_n=4，即可得结论；
（2）由（1）可得a_n=4n-3，则Tn=

1

a1a2

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)×(4n+1)

，由裂项相消法，计算可得答案．

解答：解：（I）由S_n=na_n-2n（n-1），
则S_n+1=na_n+1-2（n+1）n，
又由a_n+1=S_n+1-S_n可得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
即a_n+1-a_n=4，
则数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列；
（II）由（1）可得a_n=4n-3．
则Tn=

1

a1a2

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)×(4n+1)

=

1

4

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

)
=

1

4

(1-

1

4n+1

)．

点评：本题考查用裂项相消法求数列的和以及等差数列的确定；利用a_n+1=S_n+1-S_n的关系，结合题意，得到a_n+1-a_n=4，是解题的关键点．