Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，an+1=

1+an

1-an

(n∈N*)，则连乘积a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=

-6

．

Answer 1

分析：先由递推关系式，分析得到数列{a_n}的规律．即数列是以4为循环的周期数列，然后再求解表达式的值．

解答：解：由递推关系式，得an+2=

1+an+1

1-an+1

=

1+ 1+an 1-an

1- 1+an 1-an

=- 

1

an

，
则an+4=-

1

an+2

=-

1

- 1 an

=an．
∴{a_n}是以4为循环的周期数列．
由计算，得a₁=2，a2=-3，a3=-

1

2

，a4=

1

3

，a₅=2，…
∴a₁a₂a₃a₄=1，
∴a₁•a₂…a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=1×a₂₀₀₉•a₂₀₁₀•=a₁•a₂=-6．
故答案为：-6．

点评：本题考查数列的递推关系式的应用．如题中的连续多项的计算问题，或项数较大的项的求解，特别是不可能逐一计算时，往往数列本身会有一定的规律，如循环等，再利用规律求解．考查计算能力．