Question

函数f（x）=x²+cosx在[-

π

2

，π]上的最小值为（　　）

• A．1
• B．

  5

  2

• C．3
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：f′（x）=2x-sinx，令g（x）=2x-sinx，利用导数可判断g（x）的单调性，由g（0）=0可知g（x）在[-

π

2

，0]，[0，π]上的符号，从而可判断f（x）的单调性及极值情况，根据极值即可求得最小值．

解答：解：f′（x）=2x-sinx，
令g（x）=2x-sinx，则g′（x）=2-cosx，
当x∈[-

π

2

，π]时，g′（x）=2-cosx＞0，
所以g（x）在[-

π

2

，π]上单调递增，
又g（0）=0，所以当-

π

2

≤x＜0时，g（x）＜0，当0＜x≤π时，g（x）＞0，
故f（x）[-

π

2

，0]上单调递减，在[0，π]上单调递增，
所以x=0是f（x）的唯一极小值点，且是最小值点，
所以f（x）在[-

π

2

，π]上的最小值为f（0）=1．
故选A．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，属中档题，为了解决问题的需要，有时要多次求导，已判断函数的单调性．