Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=ax³-2ax²+bx+1（a＞0）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=

f(x)-1

x

在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）当x＜0时，-x＞0，故f（-x）=-ax³-2ax²-bx+1，再由f（x）是定义在R上的奇函数，能求出函数y=f（x）的解析式．
（2）当x∈[2，3]时，g（x）=

f(x)-1

x

=ax²-2ax+b=a（x-1）²+b-a，由a＞0，知g（x）在区间[2，3]上单调递增，由此能求出a，b的值．

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0，
故f（-x）=a（-x）³-2a（-x）²+b（-x）+1
=-ax³-2ax²-bx+1，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
故f（x）=-f（-x）=ax³+2ax²+bx-1，
所以f（x）=

ax3-2ax2+bx+1，x＞0 0，x=0 ax3+2ax2+bx-1，x＜0

．
（2）当x∈[2，3]时，g（x）=

f(x)-1

x

=ax²-2ax+b=a（x-1）²+b-a，
∵a＞0，∴g（x）在区间[2，3]上单调递增，
故

g(3)=4 g(2)=1

，
∴

9a-6a+b=4 4a-4a+b=1

，
解得a=1，b=1．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．