Question

已知正项数列{a_n}中，S_n是其前n项的和，且，n∈N⁺．
（Ⅰ）计算出a₁，a₂，a₃，然后猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

解：（I）由于?
当n=1时，，可得a₁=1，
当n=2时，，可得（a_n＞0），
当n=3时，，可得（a_n＞0），
猜想：（n∈N₊）
（II）证明：（1）当n=1时，已证．
（2）假设n=k（k≥1）时，成立，则当n=k+1时，，
即，
∴．
由（1）（2）可知对n∈N₊，成立．
分析：（I）由题意可得，令n=1可得a₁=1，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃的值，并猜想a_n，
（II）猜想，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．