Question

已知函数f（x）自变量取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．如f（x）=x²，则区间[0，1]为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x³形如[m，+∞）（m∈R）的保值区间；
（2）函数g(x)=|

1

x

-1|，(x＞0)是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=x³在R上单调递增，自变量取值区间为[m，+∞），其值域区间也为[m，+∞），可得m=f（m）=m³，解得m的值，得出区间；
（2）函数g（x）在[a，b]上的单调性不确定，故分为三种情况进行讨论，①若1≥b＞a＞0，②若b＞a＞1，③若b＞1≥a＞0，前两种情况单调性确定，最值可求，解方程组可求a，b，第三种情况可求最小值为0，不合题意．

解答：解：（1）∵y=x³在R上单调递增．m=f（m）=m³，解得m=0或±1，
∴f（x）的保值区间为[0，+∞）或[1，+∞）或[-1，+∞）．（4分）
（2）函数不存在形如[a，b]的保值区间．若存在实数a、b使得函数g(x)=|

1

x

-1|，(x＞0)有形如[a，b]的保值区间，则a＞0，∵g(x)=|

1

x

-1|=

1- 1 x (x≥1) 1 x -1(0＜x＜1)

①若1≥b＞a＞0，
则g（x）=|1-

1

x

|=

1

x

-1
在[a，b]上单调递减
最小值g（b），最大值g（a）
g（b）=a，

1

b

-1=a，1-b=ab
g（a）=b，

1

a

-1=b，1-a=ab
两式相减得a=b，与题意不符；
②若b＞a＞1，
则g（x）=|1-

1

x

|=1-

1

x

在[a，b]上单调递增
最小值g（a） 最大值g（b）
g（a）=a，1-

1

a

=a，a-1=a²
g（b）=b，1-

1

b

=b，b-1=b²
可知a，b是方程x-1=x²的两根
x²-x+1=0，△=-3＜0，无解；
③若b＞1≥a＞0，
则g（x）=|1-

1

x

|
在[a，1]上单调递减，
在[1，b]上单调递增，
最小值g（1），最大值g（b）或g（a），
a=g（1）=0与a＞0矛盾；
综上所述不存在满足条件的a，b．

点评：解决本题的关键是读懂题意，理清题意归纳出规律，知自变量的取值范围[a，b]，值域[a，b]，求a、b，就是在[a，b]上，自变量x取何值时得最大值b，自变量x取何值时得最小值a，用到函数的单调性，所以以函数的单调性来分类进行求解．