Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）=的单调区间；
（2）记函数f（x）=的最小值为g（a），求g（a）取最大值时实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：（

1

n

）ⁿ+（

2

n

）ⁿ+…+（

n-1

n

）ⁿ+（

n

n

）ⁿ＜

e

e-1

（其中n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调增区间、减区间；
（2）由（1）易求最小值g（a），利用导数可求得g（a）的最大值及相应的a值；
（3）由（2）知，当a=1时，对任意实数x均有f（x）≥g（1）=0，即e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x．令x=-

k

n

（n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），则0＜1-

k

n

≤e-

k

n

，从而可得(1-

k

n

)n≤(e-

k

n

)n=e-k，
利用该不等式进行适当放缩可得结论；

解答：（1）解：由题意a＞0，f′（x）=e^x-a，
由f′（x）=e^x-a=0，得x=lna．
当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，lna），单调递增区间为（lna，+∞）．
（2）解：由（1）知，当x=lna时，f（x）取得极小值，也为最小值，
其最小值为g（a）=f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0，得a=1．
∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）取得最大值时，a=1．
（3）证明：由（2）知，当a=1时，对任意实数x均有f（x）≥g（1）=0，即e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x．
令x=-

k

n

（n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），则0＜1-

k

n

≤e-

k

n

，
∴(1-

k

n

)n≤(e-

k

n

)n=e-k，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-2+e^-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，综合性较强，难度较高，（3）问运用最值构造不等式进行放缩是解决问题的关键．