Question

如图，A地在B地东偏北45°方向相距2

2

km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4km．已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计）分别向A地、B地送电．
（Ⅰ）试建立适当的直角坐标系求环形公路PQ所在曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取经过点B且垂直l的直线为y轴，垂足为K，并使原点与线段BK的中点重合，建立直角坐标系xoy，由题意可知环形公路PQ所在曲线的轨迹是抛物线，直接利用抛物线的定义得到其标准方程；
（Ⅱ）利用抛物线的定义，把所要求的最小值转化为在抛物线上取一点，使该点到A点的距离和到高铁线l的距离最小．

解答：解：（Ⅰ） 如图，

取经过点B且垂直l的直线为y轴，垂足为K，
并使原点与线段BK的中点重合，建立直角坐标系xoy，
则B（0，2），A（2，4），
因为环形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到直线l的距离，
所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线．
设抛物线方程为x²=2py（p＞0），则p=4．
∴环形公路PQ所在曲线的轨迹方程为x²=8y．
（Ⅱ）要使架设电线长度最短，即|MA|+|MB|最小，
过M作MH⊥l，垂足为H，依题意|MB|=|MH|
∴|MA|+|MB|=|MA|+|MH|，
当A、M、H三点共线时，|MA|+|MH|取得最小值，即|MA|+|MB|取得最小值，
此时M(2，

1

2

)，位于A地正南方且与A地相距

7

2

km，所用电线最短长度为6km．

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹方程问题，考查了抛物线的定义，体现了数学转化思想方法，解答的关键是正确建立平面直角坐标系，是中档题．