Question

设数列{a_n}满足an+1=

a

2 n

-nan+1，n=1，2，3，…，当a₁=2时，a_n=

n+1（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：在递推公式中，依次令n=1，2，3代入式子计算，由特殊值的规律推导出一般关系式，利用数学归纳法给与证明即可

解答：解：∵an+1=

a

2 n

-nan+1，a₁=2
∴a2=a12-a1+1=3
a3=a22-2a2+1=4
由以上规律可得，a_n=n+1
下面利用数学归纳法给以证明：
当n=1时，a₁=2适合题意
假设当n=k时，命题成立．即a_k=k+1
当n=k+1时，ak+1=ak2-kak+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1
即当n=k+1时，命题成立
综上可得，对于任意的n∈N^*都成立
∴a_n=n+1
故答案为n+1

点评：本题考查了数列的递推公式，数学归纳法在数学命题证明中的应用，考查计算、推理与证明的能力．