Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA₁，D为AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求二面角D-CA₁-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：方法一（1）先做出辅助线，连接AC₁与A₁C交于点K，连接DK，根据要证明线与面平行，需要在面上找一条和已知直线平行的直线，找到的直线是DK．
（2）根据二面角D-CA₁-C₁与二面角D-CA₁-A互补，做出辅助线，边做边证作GH⊥CA₁，垂足为H，连接DH，则DH⊥CA₁，得到∠DHG为二面角D-CA₁-A的平面角，解出结果．
方法二（1）以BC的中点O为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，求出法向量．根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于0，得到结论．
（2）以BC的中点O为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，根据法向量与平面上的两个向量垂直且数量积等于0，得到一个法向量，另一个平面的法向量可以直接写出，根据两个平面的法向量所成的角的余弦值求出二面角的余弦值．

解答：（方法一）（1）证明：如图一，连接AC₁与A₁C交于点K，连接DK．
在△ABC₁中，D、K为中点，∴DK∥BC₁．
又DK?平面DCA₁，BC₁?平面DCA₁，
∴BC₁∥平面DCA₁
（2）解：二面角D-CA₁-C₁与二面角D-CA₁-A互补．
如图二，作DG⊥AC，垂足为G，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，∴DG⊥平面ACC₁A₁．
作GH⊥CA₁，垂足为H，连接DH，则DH⊥CA₁，
∴∠DHG为二面角D-CA₁-A的平面角
设AB=BC=CA=AA₁=2，
在等边△ABC中，D为中点，∴AG=

1

4

AC，在正方形ACC₁A₁中，GH=

3

8

AC1，
∴DG=

3

2

，GH=

3

8

×2

2

=

3

4

2

，∴DH=

30

4

．
∴cos∠DHG=

GH

DH

=

3 2 4

30 4

=

15

5

．
∴所求二面角的余弦值为-

15

5

．

图一　　　　　　　　　图二　　　　　　　　　　图三
（方法二）（1）证明：如图三以BC的中点O为原点建系，设AB=BC=CA=AA₁=2．
设

n

=(x，y，z)是平面DCA₁的一个法向量，
则

n • CD =0 n • CA1 =0

．又

CD

=(

3

2

，0，

3

2

)，

CA1

=(1，2，

3

)，
∴

3 x+z=0 x+2y+ 3 z=0

．令x=1，z=-

3

，y=1，∴

n

=(1，1，-

3

)
∵

BC1

=(-2，2，0)，∴

n

•

BC1

=-2+2+0=0．
又BC₁?平面DCA₁，∴BC₁∥平面DCA₁．
（2）解：设

m

=(x1，y1，z1)是平面CA₁C₁的一个法向量，
则

m • CC1 =0 m • CA1 =0

．又

CC1

=(0，2，0)，

CA1

=(1，2，

3

)，
∴

y1=0 x1+ 3 z1=0

．令z1=1，x1=-

3

，∴

m

=(-

3

，0，1)．
∴cos＜

m

 ，

n

＞=

-2 3

2 5

=-

15

5

．
∴所求二面角的余弦值为-

15

5

．

点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用，本题可以利用空间向量来解题从而降低了题目的难度．