Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R)的图象的一部分如下图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-6，2]时，求函数g（x）=f（x）+f（x+2）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由图象知A=2，由

T

2

=4可求得ω，又图象经过点（-1，0），可求得φ；
（2）由f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

），可得f（x+2）=2cos（

π

4

x+

π

4

），于是g（x）=f（x）+f（x+2）=2

2

cos

π

4

x，从而可求g（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由图象知A=2，

T

2

=5-1=4，
∴T=8，
∴

2π

ω

=8，得ω=

π

4

．…（3分）
又图象经过点（-1，0），
∴2sin(-

π

4

+φ)=0．
∵|φ|＜

π

2

，
∴由-

π

4

+φ=0，得φ=

π

4

，故函数f（x）的解析式为f(x)=2sin(

π

4

x+

π

4

)．…（6分）

（2）∵g（x）=f（x）+f（x+2）
=2sin(

π

4

x+

π

4

)+2sin(

π

4

x+

π

2

+

π

4

)
=2sin(

π

4

x+

π

4

)+2cos(

π

4

x+

π

4

)
=2

2

sin(

π

4

x+

π

2

)
=2

2

cos

π

4

x…（9分）
由2kπ-π≤

π

4

x≤2kπ，得8k-4≤x≤8k（k∈Z）．
又x∈[-6，2]，故g（x）的单调递增区间为[-4，0]．…（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，A、ω、φ的确定是关键，化简g（x）=2

2

cos

π

4

x是难点．属于中档题．