Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简f（x）的解析式，利用三角函数的性质，可得f（x）的单调递增区间．
（II）当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，根据正弦函数的定义域和值域求得-

2

≤f（x）≤1，从而得到f（x）的值域．

解答：解：（I）由题意可得f(x)=1+2sinxcosx+2cos2x-2=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
可得f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
（II）当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，

3π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

4

，
-1≤sin（2x+

π

4

）≤

2

2

，
∴-

2

≤f（x）≤1，
故当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，求f（x）的最大值为1，最小值为-

2

，值域为[-

2

，1]．

点评：本题主要二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，正弦函数的单调区间、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．