Question

设函数。

（Ⅰ）若在定义域内存在，而使得不等式能成立，求实数的最小值；

（Ⅱ）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。

求导得：，        

∵函数得定义域为，

当时，，

∴函数在区间上是减函数；

当时，，

∴函数在区间(0，+∞)上是增函数。

∴，                     

∴。故实数的最小值为。                   

(Ⅱ)由得：

原题设即方程在区间上恰有两个相异实根。 

   设。∵，列表如下：

		－	0	＋
		减函数		增函数

∵，∴。

从而有，                    

画出函数在区间上的草图（见下）            

易知要使方程在区间上恰有两个相异实根，

只需：，

即：。