Question

（选做题）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），则a_n=（　　）

A、a_n=2ⁿ⁺¹-2

B、a_n=2ⁿ⁺¹

C、a_n=2ⁿ-2

D、a_n=2ⁿ

Answer 1

分析：当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），故a_n=2a_n-1+2，证明{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列，即可求出数列{a_n}的通项公式a_n．

解答：解：∵当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
∴当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an-1+2

=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
故选A．

点评：本题考查等比数列的证明和求数列{a_n}的通项公式a_n，确定{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列是关键．