Question

已知函数f（x）=log_a（2x-a）在区间[

1

2

，

2

3

]上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是

(

1

3

，1)

．

Answer 1

分析：先利用对数函数的图象性质，即“底、真同，对数为正”的特点，将数f（x）=log_a（2x-a）在区间[

1

2

，

2

3

]上恒有f（x）＞0问题转化为

a＞1 2x-a＞1

在区间[

1

2

，

2

3

]上恒成立或

0＜a＜1 0＜2x-a＜1

在区间[

1

2

，

2

3

]上恒成立，通过解决一次不等式恒成立问题即可得解

解答：解：由对数函数的图象性质，f（x）=log_a（2x-a）＞0?

a＞1 2x-a＞1

或

0＜a＜1 0＜2x-a＜1

由

a＞1 2x-a＞1

在区间[

1

2

，

2

3

]上恒成立，得

a＞1 2× 1 2 -a＞1

即a∈∅
由

0＜a＜1 0＜2x-a＜1

在区间[

1

2

，

2

3

]上恒成立，得

0＜a＜1 2× 2 3 -a＜1 2× 1 2 -a＞0

即a∈(

1

3

，1)
故答案为 (

1

3

，1)

点评：本题考察了对数函数的图象和性质，对数不等式的恒成立问题，解题时要善于运用转化的思想解题