Question

设函数f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax,a∈R.

(1)当a=1时,求证:f(x)为单调增函数;

(2)当x∈［1,3］时,f(x)的最小值为4,求a的值.

Answer 1

(1)证明：当a=1时,f(x)=2x³-6x²+6x,f′(x)=6x²-12x+6,

∴f′(x)=6(x-1)²≥0.

故f(x)为单调增函数.

(用定义法证明单调性参照给分)

(2)解：f′(x)=6(x-1)(x-a).

①当a≤1时,f(x)在区间［1,3］上是单调增函数,最小值为f(1).

由于f(1)=4,即2-3(a+1)+6a=4.解得a=＞1(舍去).

②当1＜a＜3时,f(x)在区间(1,a)上是减函数,在区间(a,3)上是增函数,故f(a)为最小值.

f(a)=4,即a³-3a²+4=0.

解得a=-1(舍去),a=2.

③当a≥3时,f(x)在区间(1,a)上是减函数,f(3)为最小值.

f(3)=4,即54-27(a+1)+18a=4.解得a=＜3(舍去).

综上所述,a=2.