Question

已知函数是偶函数，a为实常数。

（1）求b的值；

（2）当a=1时，是否存在（）使得函数在区间 上的函数值组成的集合也是，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由；

（3）若在函数定义域内总存在区间(m<n)，使得在区间 上的函数值组成的集合也是，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)由已知可得，，且函数的定义域为D=．

又是偶函数，故定义域D关于原点对称．

于是，b=0(．

又对任意 因此所求实数b=0．   ……………………3分

（2）由(1)可知， ． 由的图像，可知：

 

　又，∴在区间上是增函数。∴有 即方程， ∵，∴不存在正实数m,n，满足题意。………7分

(3)　由(1)可知， ．

的图像，知

因在区间上的函数值组成的集合也是，故必有．

①当时，有，

即方程，有两个不相等的正实数根，因此，

解得．                                                             ………10分

②当时，有，

化简得，

综上，                                            ………12分