Question

正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=（a+1）²，n∈N^*．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

an•an+1

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由题设知Sn=

an2+2an+1

4

，a₁=1，Sn-1=

an-12+2an-1+1

4

，所以4a_n=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）+2（a_n-a_n-1），由此能求出a_n=2n-1．
（2）由bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出T_n的值．

解答：解：（1）∵4S_n=（a+1）²，n∈N^*，∴Sn=

an2+2an+1

4

…①
当n=1时，a1=

a12+2a1+1

4

，∴a₁=1．
当n≥2时，Sn-1=

an-12+2an-1+1

4

…②
①、②式相减得：
4a_n=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）+2（a_n-a_n-1），
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∴a_n-a_n-1=2，
综上得a_n=2n-1．（6分）
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．（12分）

点评：第（1）题考查数列的通项公式，解题时要注意迭代法的合理运用；第（2）题考查数列的前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．