Question

（2006•黄浦区二模）已知双曲线x2-

y2

2

=1的焦点为F₁，F₂，点M在双曲线上，且

MF1

•

MF2

=0，则点M到x轴的距离为

2 3

3

．

Answer 1

分析：根据双曲线的方程算出焦点F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0）．根据

MF1

•

MF2

=0，在Rt△MF₁F₂中算出|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²=12，利用双曲线的定义得||MF₁|-|MF₂||=2，联解算出|MF₁|•|MF₂|=4，从而得Rt△MF₁F₂的面积S=2，进而可求出点M到x轴的距离．

解答：解：双曲线x2-

y2

2

=1中，a=1，b=

2

可得c=

a2+b2

=

3

，得焦点F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0）
∵

MF1

•

MF2

=0，∴

MF1

⊥

MF2

，
可得Rt△MF₁F₂中|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²=12
又∵||MF₁|-|MF₂||=2，得（|MF₁|-|MF₂|）²=4，∴2|MF₁|•|MF₂|=8，得|MF₁|•|MF₂|=4
因此Rt△MF₁F₂的面积S=

1

2

|MF₁|•|MF₂|=2
设点M到x轴的距离为d，则

1

2

|F₁F₂|•d=2，即

1

2

×2

3

×d=2，解之得d=

2 3

3

故答案为：

2 3

3

点评：本题给出双曲线上对两个焦点张角等于直角的点P，求点P到x轴的距离．着重考查了向量的数量积、三角形的面积公式和双曲线的定义与标准方程等知识，属于中档题．