Question

已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］

（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解析： (1)当a=时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞)

设x₂＞x₁≥1，则f(x₂)－f(x₁)=x₂＋=(x₂－x₁)＋=(x₂－x₁)(1－)

∵x₂＞x₁≥1，∴x₂－x₁＞0，1－＞0，则f(x₂)＞f(x₁)

可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞上的最小值为f(1)=．

(2)在区间［1，＋∞上，f(x)=＞0恒成立x²＋2x＋a＞0恒成立

设y=x²＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)²＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，

当x=1时，y_min=3＋a，于是当且仅当y_min=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．