Question

【题目】已知函数，．

（1）当时，证明；

（2）当时，对于两个不相等的实数、有，求证：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）a=1时，对f(x)求导，判断f(x)单调性求出它的最小值即可证明。

（2）先判断函数f（x）的单调区间，再构造 ，求导判断它的单调性，根据 ，且 ，可得不在同一个单调区间内，不妨设 ，利用函数的单调性即可证明.

（1）∵，∴，∴，

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴时，取得极小值，即最小值.

即.

（2）证明：当时，，

则，∴时，，单调递减，

时，，单调递增，

令，

则，∴.

当时，，，，∴，单调递减，

∴，即，

∴当时，.

又在内是增函数，在内是减函数.

又∵，且，∴，不在同一单调区间内，

不妨设，由上可知：.

∵，∴.

∵，，又在内是增函数，∴，即.