Question

已知函数f（x）=，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x=对称；
（2）若x满足f（f（x））=x，但f（x）≠x，则x称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x₁，x₂，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x₁，x₂，和a，设x₃为函数f（f（x））的最大值点，A（x₁，f（f（x₁））），B（x₂，f（f（x₂））），C（x₃，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（1）只要证明成立即可；
（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；
（3）由（2）得出x₃，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．
解答：（1）证明：∵==a（1-2|x|），=a（1-2|x|），
∴，∴f（x）的图象关于直线x=对称．
（2）解：当时，有f（f（x））=．
∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
当时，有f（f（x））=．
∴f（f（x））=x有解集，{x|x}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．
当时，有f（f（x））=，
∴f（f（x））=x有四个解：0，，，．
由f（0）=0，，，．
故只有，是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为．
（3）由（2）得，．
∵x₂为函数f（x）的最大值点，∴，或．
当时，S（a）=．求导得：S^′（a）=．
∴当时，S（a）单调递增，当时，S（a）单调递减．
当时，S（a）=，求导得．
∵，从而有．
∴当时，S（a）单调递增．
点评：本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．