Question

定义在R上的函数y=f（x）满足f（5+x）=f（-x），（x-

5

2

）f'（x）＞0，则“f（x）＞f（x+1）”是“x＜2”的（　　）条件．

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充分必要

D．既不充分也不必要

Answer 1

分析：根据已知条件f（5+x）=f（-x）求出其对称轴，再根据(x-

5

2

)f′(x)＞0讨论函数的单调性，利用函数的图象进行求解；

解答：解：∵定义在R上的函数y=f（x），
f（5+x）=f（-x）可得函数的对称轴为x=

5+x-x

2

=

5

2

，
∵(x-

5

2

)f′(x)＞0，
当x＞

5

2

时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x＜

5

2

时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当f（x）＞f（x+1），说明f（x）为减函数，故有x+1≤

5

2

，解得x≤

3

2

，
“x≤

3

2

”⇒“x＜2”，而“x＜2”⇒“x≤

3

2

”不一定成立，
∴“f（x）＞f（x+1）”是“x＜2”的充分不必要条件，
故选A；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，是一道基础题，还涉及充分必要条件的定义；