Question

由y=f（x）确定数列{a_n}：a_n=f（n）．若y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}：b_n=f^-1（n），则称{b_n}是{a_n}的“反数列”．
（1）若f(x)=2

x

确定的数列{a_n}的反数列为{b_n}，求b_n．
（2）对（1）中{b_n}，记Tn=

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

，若Tn＞

1

2

loga(1-2a)对n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．
（3）设cn=

1+(-1)λ

2

•3n+

1-(-1)λ

2

•(2n-1)（λ为正整数），若数列{c_n}的反数列为{d_n}，且{c_n}与{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}（公共项t_k=c_p=d_q，其中k，p，q为正整数），求数列{t_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）f(x)=2

x

的反函数为f-1(x)=

1

4

x2(x≥0)，由此能求出bn=

1

4

n2(n∈N*)．
（2）由

1 bk

=

2

k

(k∈N*)，知Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，Tn+1=

2

n+2

+…+

2

2n

+

2

2n+1

+

2

2n+2

Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2n+2

-

2

n+1

＞

2

2n+2

+

2

2n+2

-

2

n+1

=0，由此能求出实数a的取值范围．
（3）当λ为偶数时f(x)=

1+(-1)λ

2

•3x+

1-(-1)λ

2

•(2x-1)=3x，f-1(x)=log3x，{c_n}的项都是{d_n}的项，故tn=cn=3n，Sn=

3

2

(3n-1)(n∈N*)；当λ为奇数时，{c_n}的项都是{d_n}的项，故t_n=c_n=2n-1，S_n=n²（n∈N^*）．

解答：解：（1）f(x)=2

x

的反函数为f-1(x)=

1

4

x2(x≥0)，
故bn=

1

4

n2(n∈N*)．
（2）由（1）的结果知

1 bk

=

2

k

(k∈N*)，
故Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，
Tn+1=

2

n+2

+…+

2

2n

+

2

2n+1

+

2

2n+2

，
Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2n+2

-

2

n+1

＞

2

2n+2

+

2

2n+2

-

2

n+1

=0，
即{T_n}单调增，
从而Tn＞

1

2

loga(1-2a)对n∈N^*恒成立等价于

1

2

loga(1-2a)＜T1=1，
化为log_a（1-2a）＜2，
由1-2a＞0知a＜

1

2

，
故log_a（1-2a）＜2等价于1-2a＞2a²，
结合a＞0，
解得0＜a＜

2

-1．
（3）分两种情形．
1⁰当λ为偶数时f(x)=

1+(-1)λ

2

•3x+

1-(-1)λ

2

•(2x-1)=3x，f-1(x)=log3x，
故c_n=3ⁿ，d_n=log₃n，
令c_p=d_q，得3p=log3q⇒q=33p(p∈N*)，
即{c_n}的项都是{d_n}的项，
故tn=cn=3n，Sn=

3

2

(3n-1)(n∈N*)．
2⁰当λ为奇数时f(x)=

1+(-1)λ

2

•3x+

1-(-1)λ

2

•(2x-1)=2x-1，f-1(x)=

x

2

+1，
故cn=2n-1，dn=

n

2

+1，
令c_p=d_q，得2p-1=

q

2

+1⇒q=4p-3(p∈N*)，
即{c_n}的项都是{d_n}的项，
故t_n=c_n=2n-1，S_n=n²（n∈N^*）．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意分类讨论思想的合理运用．