Question

设F为抛物线y²=4x的焦点，A为抛物线上任意一点，以F为圆心，|AF|为半径画圆，与x轴负半轴交于B点，试判断过A，B的直线与抛物线的位置关系，并证明．

Answer 1

分析：设A（

m2

2p

，m），则|AF|=

m2

2p

+

p

2

，所以AB：2my=2px+m²，联立 方程组，得y²-2my+m²=0，再利用根的判别式能判断直线AB与抛物线的位置关系．

解答：解：设A(

m2

2p

，m)，则|AF|=

m2

2p

+

p

2

，
∴B(-

m2

2p

，0)，
∴AB：

y

m

=

x+ m2 2p

m2 p

，即2my=2px+m²
由

2my=2px+m2 y2=2px

⇒y2-2my+m2=0，
∴△=4m²-4m²=0，
∴直线AB与抛物线相切．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的判断与应用，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．