Question

函数f(x)=x+

a

x

．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；
（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）函数是奇函数．利用奇函数的定义，先确定函数的定义域关于原点对称，再验证f（-x）=-f（x）即可；
（2）求导数，证明导数大于0即可；
（3）对a讨论，确定函数在（1，2）上的单调性，利用f（x）_min＞3，即可求得a的范围．

解答：（1）解：f（x）是奇函数，证明如下：
由题意可得，函数的定义域{x|x≠0}关于原点对称
∵f（-x）=-x-

a

x

=-f（x）
∴f（x）是奇函数；
（2）证明；当a=2时，f（x）=x+

2

x

，∴f′(x)=1-

2

x2

当x＞2时，f′(x)=1-

2

x2

＞0恒成立
∴函数在（2，+∞）单调增；
（3）解：当a≤0时，f(x)=x+

a

x

在x∈（1，2）单调递增
∴1+a＜f(x)＜2+

a

2

∴1+a≥3
∴a≥2（舍）
当a＞0时，f(x)=x+

a

x

在（0，

a

]单调递减，在[

a

，+∞）单调递增
∴2

a

＞3
∴a＞

9

4

∴a的范围是(

9

4

，+∞)．

点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查恒成立问题，确定函数的单调性是关键．