Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的经过焦点且垂直于长轴的弦长为3，离心率为

1

2

（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l：y=kx+m（|k|≤

1

2

）与椭圆C相交于点A、B两点，且

OP

=

OA

+

OB

，其中P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由已知椭圆的经过焦点且垂直于长轴的弦长为3，离心率为

1

2

，求得a，b，从而写出椭圆C的方程；
（Ⅱ）先对k 分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±

3

2

，所以|OP|=

3

；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．

解答：解：（I）∵椭圆的经过焦点且垂直于长轴的弦长为3，离心率为

1

2

∴

b2

a

=

3

2

，

a2-b2

a2

=

1

4

∴a²=4，b²=3
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±

3

2

，
所以|OP|=

3

当k≠0时，则由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消y化简整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0③
设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
则x₀=x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

6m

3+4k2

．
由于点P在椭圆C上，所以

x02

4

+

y02

3

=1．
从而

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，化简得4m²=3+4k²，经检验满足③式．
又|OP|=

x02+y02

=

64k2m2 (3+4k2)2 + 36m2 (3+4k2)2

=

4- 3 3+4k2

因为0＜|k|≤

1

2

，得3＜4k²+3≤4，有

3

4

≤

3

3+4k2

＜1，
故

3

＜|OP|≤

13

2

．
综上，所求|OP|的取值范围是[

3

，

13

2

]．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．