Question

已知函数f(x)=2cosωx(

3

sinωx+cosωx)（其中ω＞0），且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
（1）先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象；
（2）若f(

x

2

)=2，求cos(

2π

3

-x)的值；
（3）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据范围通过列表等画出函数的图象；
（2）根据f(

x

2

)=2求出sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，利用诱导公式求出cos(

2π

3

-x)的值；
（3）利用余弦定理求出B的值，确定出

π

6

＜A+

π

6

＜

5

6

π，然后求出函数f（A）的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sinωx•cosωx+2cos2ωx=

3

sin2ωx+cos2ωx+1
=2sin(2ωx+

π

6

)+1
由条件得

2π

2ω

=2π，所以ω=

1

2

，f(x)=2sin(x+

π

6

)+1（3分）
（1）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+

π

6

）．
列表：

x+ π 6	- 5 6 π	- π 2	0	π 2	π	7 6 π
x	-π	- 2 3 π	- π 6	π 3	5π 6	π
y	0	-1	1	3	1	0

描点作图，函数f（x）在[-π，π]上的图象如图所示．
（6分）
（2）由f(

x

2

)=2可得sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

．∴cos（

2π

3

-x）=cos（x-

2π

3

）=-cos（x+

π

3

）
=-[1-2sin²（

x

2

+

π

6

）]=2•（

1

2

）²-1=-

1

2

．（9分）
（3）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，∴0＜A＜

2π

3

．∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5

6

π，

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1．
又∵f（x）=2sin（x+

π

6

）+1，∴f（A）=2sin（A+

π

6

）+1
故函数f（A）的取值范围是（2，3]．（14分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理的应用，三角函数的图象的画法，是常考题型．