Question

【题目】已知， ， ，斜率为的直线过点，且和以为圆相切.

（1）求圆的方程；

（2）在圆上是否存在点，使得，若存在，求出所有的点的坐标；若不存在说明理由；

（3）若不过的直线与圆交于， 两点，且满足， ， 的斜率依次为等比数列，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）或；（3）

【解析】试题分析：根据直线与圆C相切，则点C到直线的距离为圆的半径，写出圆的方程；设点P的坐标，根据已知条件表示，与圆的方程联立方程组，解方程组求出点P的坐标；存在性问题是高考高频考点，首先假设直线存在，分直线m的斜率不存在和存在两种情况研究，若存在不妨设为k，根据要求求出斜率k的值，得出这样的直线存在，给出斜率k.

试题解析：

（1）： ，

∵直线和圆相切∴设圆的半径为，则，

∴圆： ；

（2）设，则由，得，

又∵点在圆上，∴，

相减得： ，

代入，得，

解得或，

∴点的坐标为或；

（3）若直线的斜率不存在，则的斜率也不存在，不合题意：

设直线： ， ， ，

直线与圆联立，得，

由，得，

即。

整理得： ，

∵不过点，∴，∴上式化为.

将代入得： ，

即，

∵，∴，

∴直线的斜率为.