Question

定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则f（2008）的值是

0

．

Answer 1

分析：由题意可得函数为奇函数，它的图象关于原点对称，且还关于直线x=1对称，可得函数为周期函数，且周期为4，故f（2008）=f（0）．再由当x∈[-1，1]时，
f（x）=x³，可得f（0）的值．

解答：解：定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），故函数为奇函数，它的图象关于原点对称．
再由f（1+x）=f（1-x），可得 f（2+x）=f[1-（x+1）]=f（-x），故有f（4+x）=f（x），
故函数为周期函数，且周期为4．
故f（2008）=f（0），再由当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，可得f（0）=0，
故答案为 0．

点评：本题主要考查利用函数的奇偶性和周期性求函数的值，求得f（4+x）=f（x），是解题的关键，属于中档题．