题目内容

已知函数f（x）=log_mx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）若b_n=a_n•f（a_n），当m= $数学公式$ 时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=a_n•lga_n，如果{c_n}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．

解：（1）由题意得f（a_n）=2+2（n-1）=log_ma_n，可得2n=log_ma_n，…（1分）
∴a_n=m²ⁿ．…（2分）
b_n=a_n•f（a_n）=2n•m²ⁿ．
∵m= $\text{[math]}$ ，∴b_n=a_n•f（a_n）=2n•（ $\text{[math]}$ ）²ⁿ=n•（ $\text{[math]}$ ）^n-1，…（3分）
∴S_n=1•（ $\text{[math]}$ ）⁰+2•（ $\text{[math]}$ ）¹+3•（ $\text{[math]}$ ）²+…+n•（ $\text{[math]}$ ）^n-1，①
$\text{[math]}$ S_n=1•（ $\text{[math]}$ ）¹+2•（ $\text{[math]}$ ）²+3•（ $\text{[math]}$ ）³+…+n•（ $\text{[math]}$ ）ⁿ，②…（4分）
①-②，得 $\text{[math]}$ S_n=（ $\text{[math]}$ ）⁰+（ $\text{[math]}$ ）¹+（ $\text{[math]}$ ）²+…+（ $\text{[math]}$ ）^n-1-n•（ $\text{[math]}$ ）ⁿ= $\text{[math]}$ …（6分）
∴化简得：S_n=-（n+2）（ $\text{[math]}$ ）^n-1+4 …（7分）
（2）解：由（Ⅰ）知，c_n=a_n•lga_n=2n•m²ⁿlgm，要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，
即nlgm＜（n+1）m²lgm对一切n∈N^*成立．…（8分）
∵0＜m＜1，可得lgm＜0
∴原不等式转化为n＞（n+1）m²，对一切n∈N^*成立，
只需m²＜（ $\text{[math]}$ ）_min即可，…（10分）
∵h（n）= $\text{[math]}$ 在正整数范围内是增函数，∴当n=1时，（ $\text{[math]}$ ）_min= $\text{[math]}$ ．…（12分）
∴m²＜ $\text{[math]}$ ，且0＜m＜1，，∴0＜m＜ $\text{[math]}$ ．…（13分）
综上所述，存在实数m∈（0， $\text{[math]}$ ）满足条件．…（14分）
分析：（1）用等差数列求和公式，结合对数的运算性质可得：a_n=m²ⁿ，从而有b_n=n•（ $\text{[math]}$ ）^n-1，最后用错位相减法结合等比数列的求和公式，得到数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）由题意，不等式c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，代入a_n的表达式并化简可得m²＜（ $\text{[math]}$ ）_min．通过讨论单调性可得当n=1时， $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ ，从而得到m²＜ $\text{[math]}$ ，结合0＜m＜1，得到实数m的取值范围是（0， $\text{[math]}$ ）．
点评：本题以对数运算和数列通项与求和运算为载体，求数列的前n项和并求数列单调递增时参数的取值范围，着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式，以及不等式恒成立问题的讨论等知识，属于中档题．