Question

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2

3

，∠APB=30°，则AE=

 

．

Answer 1

分析：连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF垂直于AE，根据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，根据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．

解答：解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，
∵PA为圆O的切线，
∴∠PAO=90°，又PA=2

3

，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，
∴OA=PAtan30°=2

3

×

3

3

=2，又D为OC中点，故OD=1，
根据余弦定理得：AD²=OA²+OD²-2OA•ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=

7

，
∵在Rt△APM中，∠APM=30°，且AP=2

3

，
∴AM=

1

2

AP=

3

，
故三角形AOD的面积S=

1

2

OD•AM=

3

2

，则S=

1

2

AD•OF=

7

2

OF=

3

2

，
∴OF=

21

7

，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得：AF=

OA2-OF2

=

5 7

7

，
则AE=2AF=

10 7

7

．
故答案为：

10 7

7

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有锐角三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，以及垂径定理，利用了数形结合的思想，直线与圆相切时，常常连接圆心与切点，构造直角三角形解决问题，直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形解决问题，学生做此类题应注意辅助线的作法．