Question

已知函数f（x）=log₅（-1）为奇函数．
（I）求a的值；
（II）求f（x）的定义域；
（III）解不等式f（2^x）＜f（4^x+1）．

Answer 1

解：（I）因为函数f（x）=log₅（-1）为奇函数，∴f（0）=log₅（a-1）=0，解得a=2．
（II）由（I）得f（x）=，由解析式有意义得：，解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（III）由（I）和不等式f（2^x）＜f（4^x+1） 及f（x）在定义域上是增函数得 ，解得-2＜x＜-1，
从而不等式f（2^x）＜f（4^x+1）的解集是 （-2，-1）．
分析：（I）根据奇函数的性质可得f（0）=log₅（a-1）=0，由此求得a的值．
（II）由（I）得f（x）=，由解析式有意义得：，解得x的范围，即可得到函数的定义域．
（III）由（I）和不等式f（2^x）＜f（4^x+1） 及f（x）在定义域上是增函数得 ，解得x的范围，从而得到不等式f（2^x）＜f（4^x+1）的解集．
点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，函数的奇偶性的性质，对数不等式的解法．