题目内容
已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．
解：（1）当a=2时，f（x）=lnx﹣ax，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
求导函数可得f'（x）=
﹣2①
由f'（x）＞0，x＞0，得0＜x＜
②
由f'（x）＜0，x＞0，得x＞
故函数f（x）的单调递增区间为（0，
），单调减区间是（
，+∞）．
（2）①当
≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a
②当
2，即a≤
时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a
③当1＜
2，即
时，函数f（x）在[1，
]上是增函数，在[
，2]上是减函数．
又f（2）﹣f（1）=ln2﹣a，
∴当
时，最小值是f（1）=﹣a；当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2﹣2a
综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是﹣1；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是
ln2﹣2a．
求导函数可得f'（x）=
﹣2①由f'（x）＞0，x＞0，得0＜x＜
②由f'（x）＜0，x＞0，得x＞
故函数f（x）的单调递增区间为（0，
），单调减区间是（，+∞）．（2）①当
≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a
②当
2，即a≤时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a
③当1＜
2，即时，函数f（x）在[1，]上是增函数，在[，2]上是减函数．又f（2）﹣f（1）=ln2﹣a，
∴当
时，最小值是f（1）=﹣a；当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2﹣2a综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是﹣1；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是
ln2﹣2a．
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