Question

已知在平面直角坐标系xOy中,向量j=(0,1),△OFP的面积为2,且·=t,=+j.

(1)设4＜t＜4,求向量与的夹角θ的取值范围;

(2)设以原点O为中心,对称轴在坐标轴上,以F为右焦点的椭圆经过点M,且||=c,t=(-1)c²,当||取最小值时,求椭圆的方程.

Answer 1

思路解析:此题是向量知识与圆锥曲线结合的一个问题,高考试题常用向量给出条件,运用向量知识进行转化为圆锥曲线的有关问题是常考的思想方法.设求向量与的夹角θ的取值范围由面积公式及·=t,可求出tanθ的范围.(2)中设出P点的坐标,用c来表示||,求出当c取某值时的||的最小值,进而求椭圆的方程.

解:(1)由2=||·||·sinθ,得?||·||=,

由cosθ=,得tanθ=.

∵4＜t＜4,∴1＜tanθ＜.

∵θ∈［0,π］,∴夹角θ的取值范围是(,).

(2)设P(x₀,y₀),则=(x₀-c,y₀),=(c,0).

∴·=(x₀-c,y₀)·(c,0)=(x₀-c)c=t=(-1)c².

∴x₀=c.

S_△OFP=||·|y₀|=2,

∴y₀=±.

又由,

得x₀=c.

∴||=.

∴当且仅当c=,即c=2时,?||取最小值2,

此时, =(2,±2),

∴=(2,2)+(0,1)=(2,3)或=(2,-2)+(0,1)=(2,-1).

椭圆长轴2a==8,

∴a=4,b²=12或2a=.

∴a=,b²=.

故所求椭圆方程为=1或=1.