题目内容

已知三次函数f（x）的最高次项系数为a，三个零点分别为-1，0，3．
（1）若方程有两个相等的实根，求a的值；
（2）若函数λ（x）=f（x）+2x2在区间内单调递减，求a的取值范围．
【答案】分析：（1）根据函数模型可设出函数解析式，代入方程，然后根据方程有两个相等的实根，利用判别式为0建立等式关系，解之即可．
（2）λ（x）在内单调递减，可转化成λ'（x）≤0在恒成立，然后讨论a，建立关于a的不等关系，解之即可．
解答：解：（1）依题意，设f（x）=ax（x+1）（x-3）
∵有两个相等实根，
即ax2-（2a-2）x+4a=0有两个相等实根，
∴△=（2a-2）2-4a•4a=0，
即或a=-1．
（2）∵λ（x）=ax3-（2a-2）x2-3ax在内单调递减，
∴λ'（x）=3ax2-2（2a-2）x-3a≤0在恒成立，
∴a=0或
解得a=0或a≤-1
点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及恒成立问题，同时考查了等价转化的思想和运算求解的能力，属于基础题．
练习册系列答案
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已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．
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（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求实数t的最小值；
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19、已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
（I）求函数y=f（x）的表达式；
（II）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
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已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R），命题p：y=f（x）是R上的单调函数；命题q：y=f（x）的图象与x轴恰有一个交点．则p是q的（　　）
已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
（1）求函数f（x）的表达式； 
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在区间[-2，5]的最值．
精英家教网已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则
f′(-3)f′(1)
=
 
．

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