Question

已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为（-l，

1

3

），且对任意a，B∈R恒有f（sina）≤0，f（2+cosβ）≥0．则函数f（x）的解折式为（　　）

• A、f（x）=

  3

  2

  x2+x-

  5

  2

• B、f（x）=

  3

  2

  x2-x+

  5

  2

• C、f（x）=

  3

  2

  x2+x+

  5

  2

• D、f（x）=

  3

  2

  x2-x-

  5

  2

Answer 1

分析：根据“f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为（-1，

1

3

），”可得到f（x）+2=a（x+1）（x-

1

3

），
再由“任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0”可得f（1）≤0，f（2-1）≥0，从而有f（1）=0，解得a=

3

2

，得到函数的解析式．

解答：解：依题意，f（x）+2=a（x+1）（x-

1

3

）（a＞0），
即f(x)=ax2+

2a

3

x-

a

3

-2
由于对任意a，B∈R恒有f（sina）≤0，f（2+cosβ）≥0．
则令α=

π

2

，β=π，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，
得f（1）=0，即f(1)=a+

2a

3

-

a

3

-2=0，解得a=

3

2

．
∴f(x)=

3

2

x2+x-

5

2

故答案为 A

点评：主要涉及了二次函数求解析式，属于基础题．