Question

如图，正四棱柱AC₁中，对角线BD₁=8，BD₁与侧面BC₁所成的角为30°，

求：（1）BD₁和底面ABCD所成的角；

（2）异面直线BD₁和AD所成的角；

（3）正四棱柱的全面积.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由于正四棱柱是长方体，D1C1⊥面BC1， ∴∠D1BC1是BD1与侧面BC1所成的角.∴∠D1BC1=30°. ∵BD1=8，∴C1D1=4.∴BD=4. ∵DD1⊥底面ABCD，∴BD1和底面ABCD所成的角就是∠D1BD. 在Rt△D1BD中，cosD1BD=，∴∠D1BD=45°. ∴BD1和底面ABCD所成的角是45°. （2）∵AD∥BC， ∴∠D1BC（或其补角）是异面直线BD1和AD所成的角.连结D1C， 在Rt△D1BC中，cosD1BC=，∴∠D1BC=60°. ∴异面直线BD1和AD所成的角是60°. （3）在Rt△D1BC1中，BC1=BD1cosD1BC1=8cos30°=4， ∴CC1=4. ∴S全=S侧+2S底=64+32.