Question

已知在四面体ABCD中，AC=BD，而且AC⊥BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析：先证四边形EFGH是平行四边形，再证EF=EH，EF⊥EH，可得四边形EFGH是正方形．

解答：证明：∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC．
同理HG∥AC，HG=

1

2

AC．
∴EF∥HG，EF=HG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AC=BD，EH=

1

2

BD，∴EF=EH．
∵AC⊥BD，EH∥BD，
∴EF⊥EH．
∴四边形EFGH是正方形．

点评：本题考查了平行公理，线线垂直的证明及确定平面的条件．