Question

在正方体AC₁中,E、F分别是相邻两个侧面BCC₁B₁和CDD₁C₁的中心.

(1)试判断直线A₁E与B₁F的位置关系,并证明你的判断;

(2)求直线A₁E与直线B₁F所成的角;

(3)求直线A₁E与平面B₁CD₁所成的角.

Answer 1

解:如图,(1)连结CD₁、CB₁、B₁D₁,依题意,E、F分别是CD₁与CB₁的中点,由于A₁平面B₁CD₁,E平面B₁CD₁,B₁F平面B₁CD₁,且EB₁F,

∴直线A₁E与B₁F是异面直线.

(2)取CF的中点G,连结EG,则EG∥B₁F,

∴A₁E与FG所成的不大于90°的正角即为异面直线A₁E与B₁F所成的角,连结A₁G,在△A₁EG中,,

EG²=B₁F²=()²=a²,A₁G²=A₁D₁²+D₁G²=a²,

∴cos∠A₁EG=,

故所求的角为arccos.

(3)连结A₁C₁,设A₁C₁与B₁D₁交于点O₁,

∵B₁D₁⊥A₁C₁,CC₁⊥B₁D₁,

∴B₁D₁⊥平面CC₁A₁A.

∴平面B₁CD₁⊥平面CC₁A₁A.

连结CO₁,则CO₁为平面B₁CD₁与平面CC₁A₁A的交线,设A₁、C₁在平面B₁CD₁内的射影分别为M、N,则M、N均在直线CO₁上,且∠A₁EM即为A₁E与平面B₁CD₁所成的角.

又A₁M=C₁N=,

,

在Rt△A₁EM中,sin∠A₁EM=.

∴直线A₁E与平面B₁CD₁所成的角为arcsin.