Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时f（x）=log 

1

2

（-x+1）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；指出f（x）的单调区间并说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数（不需要证明，但要写出判断过程）；
（Ⅲ）若f（a-1）＜-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，f（1）=f（-1）=log 

1

2

（1+1），计算求得结果．
（Ⅱ）当x＞0时，-x＜0，由已知求得f（x）的解析式，可得f（x）在R上的解析式，从而判断函数的单调性
（Ⅲ）由f（a-1）＜-1，可得①

a-1＞0 log 1 2 (a-1+1)＜-1

，或 ②

a-1≤0 log 1 2 [-(a-1)+1]＜-1

．
分别解①、②，求得a的范围，再取并集即得所求．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得，f（1）=f（-1）=log 

1

2

（1+1）=-1．
（Ⅱ）当x＞0时，-x＜0，f（-x）=log 

1

2

（x+1）=f（x），
故有f（x）=

log 1 2 (-x+1) ，x≤0 log 1 2 (x+1) ，x＞0

，
当x＞0 时，f（x）=log

1

2

(x+1) 是减函数；当x≤0时，f（x）=log

1

2

(-x+1) 是增函数．
故函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0]上是增函数．
（Ⅲ）∵f（a-1）＜-1，∴①

a-1＞0 log 1 2 (a-1+1)＜-1

，或 ②

a-1≤0 log 1 2 [-(a-1)+1]＜-1

．
解①可得a＞2，解②可得a＜0．
综上可得，a的范围为（2，+∞）∪（-∞，0）．

点评：本题主要考查求函数的解析式，函数的奇偶性和单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题