Question

函数f（x）=x²+2x-3a，x∈[-2，2]．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的最值，并说明当f（x）取最值时的x的值；
（Ⅱ）若f（x）+2a≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a=-1代入f（x）并配方，求出f （x）的对称轴为x=-1，再由二次函数的性质求出f （x）在[-2，2]上的最值，以及f（x）取最值时的x的值；
（Ⅱ）将条件转化为：x²+2x≥a对于x∈[-2，2]恒成立，再设g（x）=x²+2x，配方后求出在[-2，2]上的最小值，再求出a的范围．
解答：解：（Ⅰ）当a=-1时，则f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，
∴f （x）的对称轴为x=-1，
∴f（x）_min=f（-1）=2，此时x=-1，
f（x）_max=f（2）=11，此时x=2；
（Ⅱ）f（x）+2a≥0对于x∈[-2，2]恒成立，
即x²+2x≥a对于x∈[-2，2]恒成立，
设g（x）=x²+2x，即求g（x）=x²+2x在[-2，2]上的最小值，
∵g（x）=x²+2x=（x+1）²-1，
∴g（x）=x²+2x在[-2，2]上的最小值是-1，
故a≤-1．
点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．