Question

已知数列{a_n}为等比数列．T_n=na₁+（n-1）a₂+…+a_n，且T₁=1，T₂=4
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求{T_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则T₁=a₁，T₂=2a₁+a₂=a₁（2+q）．
∵T₁=1，T₂=4，代入解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，则S_n=1+2+…+2^n-1=2ⁿ-1
∴T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=a₁+（a₁+a₂）+…+（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n）
=S₁+S₂+…+S_n=（2-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+…+2ⁿ）-n=-n=2ⁿ⁺¹-n-2
分析：（1）根据题意，首先设出等比数列的公比为q，利用T₁=1，T₂=4，求出数列的首项与公比，即可求数列的通项；
（2）根据等比数列的求和公式推出T_n的通项公式即可．
点评：本题主要考查等比数列的通项与求和，正确处理T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n是关键．