Question

已知不等式（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先将不等式恒成立转化为左边函数的最小值大于等于9恒成立；将不等式的左边展开，利用基本不等式求出最小值，令最小值大于等于9，解不等式求出a的范围，求出a的最小值．

解答：解：∵(x+y)(

1

x

+

a

y

)≥9对任意正实数x，y恒成立
∵(x+y)(

1

x

+

a

y

)=1+a+

ax

y

+

y

x

≥1+a+2

a

∴1+a+2

a

≥9
解得a≥4
故答案为：4

点评：本题考查解决不等式恒成立问题常转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值．