Question

如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2cm，侧棱长为3cm，求六棱锥P-ABCDEF的表面积和体积．

Answer 1

分析：根据题意，过O作边AB的垂线，垂足为Q，连结PQ，则可得六棱锥的斜高PQ，通过正六棱锥的侧棱，求出棱锥的高，即可求出正六棱锥的表面积与体积．

解答：解：P-ABCDEF为正六棱锥，O是底面正六边形ABCDEF的中心．
连接OA、OB、OP，过O作边AB的垂线，垂足为Q．连结PQ，
∵ABCDEF为正六边形，∴△AOB为等边三角形．
∴OA=OB=AB=2，又∵OQ⊥AB，∴Q是AB中点．
∴AQ=BQ=1，侧棱长为3cm，
∴斜高PQ=

32-12

=2

2

，
∵OP⊥面ABCDEF，
∴OP是棱锥的高，PO=

32-22

=

5

．
∴该棱锥的表面积为：S=S_底+S_侧=6×

3

4

×22+6×

1

2

×2×2

2

=6

3

+12

2

．
正六棱锥的体积为V=

1

3

×6

3

×

5

=2

15

．

点评：本题以正六棱锥为载体，考查棱锥的底面积，侧面积与体积的关系，考查计算能力．