题目内容
【题目】已知椭圆 
的离心率为 
，且过点 
．若点M（x0 ， y0）在椭圆C上，则点 
称为点M的一个“椭点”．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB的面积．
【答案】
（1）
解：由椭圆的离心率 
，得a=2c，
又a2=b2+c2，则 
，
∴椭圆 
，
由 
在C上，则 
，得c=1
∴ 
，
∴椭圆C的方程为： 
（2）
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（ 
， 
），Q（ 
， 
），
由以PQ为直径的圆经过坐标原点，得 
，
即 
（1）
由 
，消除y整理得：（3+4k2）x2+8mk+4（m2﹣3）=0，
由△=64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，得3+4k2﹣m2＞0，
而 
（2）
∴ 
（3）
将（2）（3）代入（1）得： 
，
即2m2﹣4k2=3，
又∵ 
，
原点O到直线l：y=kx+m的距离 
，
∴ 
，
把2m2﹣4k2=3代入上式得 
，即S△AOB的面积是为 
．
【解析】（1）由椭圆的离心率公式，利用待定系数法及a，b，c的关系，即可取得a与b的值，求得椭圆方程；（2）以PQ为直径的圆经过坐标原点，得 ，将直线l的方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，将2m2﹣4k2=3代入即可求得△AOB的面积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
．
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