Question

（2013•惠州模拟）设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在直线x+y-2=0上，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出其通项；
（2）设f（n）=log

1

2

aⁿ，记b_n=a_n+1•f（n+1），求数列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得a_n+S_n=2对任意n∈N^*都成立，由此算出a₁=1且a_n=

1

2

a_n-1，可得数列{a_n}是以1为首项，公比q=

1

2

的等比数列．
（2）根据对数的运算法则结合（1）的结论，代入化简得到b_n=n•（

1

2

）ⁿ，从而得到T_n=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n•（

1

2

）ⁿ，利用错位相减法并结合等比数列的前n项和公式，可得T_n=2-（n+2）

1

2n

．

解答：解：（1）∵（a_n，S_n）在直线x+y-2=0上，
∴a_n+S_n=2，
可得n=1时，a₁+S₁=2即2a₁=2解得a₁=1…（2分）
当n≥2时，a_n+S_n=2且a_n-1+S_n-1=2…（3分）
两式相减得：a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0，即2a_n-a_n-1=0…（5分）
∴a_n=

1

2

a_n-1，可得数列{a_n}是以1为首项，公比q=

1

2

的等比数列．…（6分）
可得a_n=（

1

2

）^n-1…（7分）
（2）由（1）得f（n）=log

1

2

aⁿ=log

1

2

（

1

2

）^n-1=n-1，
则b_n=a_n+1•f（n+1）=n•（

1

2

）ⁿ，…（9分）
∴T_n=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n•（

1

2

）ⁿ，----①
两边都乘以

1

2

得

1

2

T_n=1×

1

22

+2×

1

23

+3×

1

24

+…+n•（

1

2

）ⁿ⁺¹，----②…（10分）
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+（

1

2

）ⁿ-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹=（1-

1

2n

）-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹…（11分）
即T_n=（2-2×

1

2n

）-n•（

1

2

）ⁿ，化简得T_n=2-（n+2）

1

2n

．…（14分）

点评：本题给出以数列的项为坐标的点在已知直线上，求数列的通项并依此求另一个数列的前n项和．着重考查了直线的方程、等比数列的定义与前n项和公式、利用错位相减法求数列的前n项和等知识，属于中档题．