Question

已知抛物线的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，.

（1）求抛物线的方程；

（2）设点，（）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程.

Answer 1

（1）抛物线的方程为.（2）.

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的定义可得一个关于点P横坐标及的等式，结合该点在抛物线上，因此可求得的值，即可得结论.

（2）由∠APB的角平分线与x轴垂直，可得PA，PB的倾斜角互补，即PA，PB的斜率互为相反数.通过假设直线PA的方程，联立抛物线方程可得到点A的坐标，根据PA,PB的斜率关系即可得对应的得到点B的坐标，由此可得到直线AB的斜率，由此可通过假设直线AB的方程联立抛物线方程，根据两点公式求出AB的长，根据点到直线的距离公式，即可表示出三角形PAB的面积，再结合函数的导数求出最值.

试题解析：（1）设，因为，由抛物线的定义得，又，

因此，解得，从而抛物线的方程为.

（2）由（1）知点P的坐标为P（2,4），因为∠APB的角平分线与x轴垂直，所以可知PA，PB的倾斜角互补，即PA，PB的斜率互为相反数.

设直线PA的斜率为k，则，由题意，

把代入抛物线方程得，该方程的解为4、，

由韦达定理得，即，同理.

所以，

设，把代入抛物线方程得，

由题意，且，从而

又，所以，点P到AB的距离，

因此，设,

则，

由知，所以在上为增函数，因此，

即△PAB面积的最大值为.

△PAB的面积取最大值时b=0，所以直线AB的方程为.

考点：1. 抛物线的定义及其几何性质；2. 直线与抛物线的位置关系；3. 直线方程；4.应用导数研究函数的最值.

考点分析： 考点1：抛物线的标准方程 考点2：抛物线的几何性质 试题属性

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