题目内容
已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量
，
满足|
+
|=|
-
|，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为
时，求p的值．
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为
2
| ||
| 5 |
（1）∵向量
，
满足|
+
|=|
-
|，
∴(
+
) 2=(
-
) 2
即
2+2
•
+
2=
2-2
•
+
2
整理得
•
=0
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）
∴
=（x1，y1），
=（x2，y2）
∴x1x2+y1y2=0①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，
则
•
=0
即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
展开上式并将 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0
故线段AB是圆C的直径．
（Ⅱ）设圆C的圆心为C（x，y），
则x=
，y=
∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），
∴x1x2=
又∵x1x2+y1y2=0
∴x1x2=-y1y2
∴-y1y2=
∴y1y2=-4p2
∴x=
=
（y12+y22）
=
（y12+y22+2y1y2）-
=
（y2+2p2）
∴圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，，则
d=
=
=
当y=p时，d有最小值
，
由题设得?
=
∴p=2
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
∴(
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
即
| OA |
| OA |
| OB |
| OB |
| OA |
| OA |
| OB |
| OB |
整理得
| OA |
| OB |
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）
∴
| OA |
| OB |
∴x1x2+y1y2=0①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，
则
| MA |
| MB |
即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
展开上式并将 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0
故线段AB是圆C的直径．
（Ⅱ）设圆C的圆心为C（x，y），
则x=
| x1+x2 |
| 2 |
| y1+y2 |
| 2 |
∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），
∴x1x2=
| y12y22 |
| 4p2 |
又∵x1x2+y1y2=0
∴x1x2=-y1y2
∴-y1y2=
| y12y22 |
| 4p2 |
∴y1y2=-4p2
∴x=
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 |
| 4p |
=
| 1 |
| 4p |
| y1y2 |
| 2p |
=
| 1 |
| p |
∴圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，，则
d=
| |x-2y| | ||
|
=
|
| ||
|
=
| |(y-p)2+p2| | ||
|
当y=p时，d有最小值
| p | ||
|
由题设得?
| p | ||
|
2
| ||
| 5 |
∴p=2
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